Boucle a verrouillage de phase

PLL 

Boucle à verrouillage de phase.

    La boucle à verrouillage de phase, plus connu sous le nom anglo-saxon PLL (Phase Locked Loop) est un système très utilisé de nos jours. Mais sa création est, elle, plus ancienne.

   Son créateur est un Français, Henry De Bellescisse. Il a en 1932 inventé un système qui ressemble beaucoup à la PLL que nous connaissons tous aujourd’hui. Vous pouvez d’ailleurs consulter ses mémoires dans le livre L’onde électrique.

L’avènement de ce dispositif s’est faite plus tardivement, avec l’arrivé des circuits électroniques à semiconducteur produit en masse qui utilise, justement, cette technologie.

La PLL a été une très grande avancée, de plus en plus utilisée dans de nombreux domaines. Paradoxalement, sa mise en œuvre n’est pas excessivement compliquée à telle point que nous, élèves de DUT, pouvons comprendre le principe de fonctionnement et ainsi modéliser une PLL. C’est dire à quel point sa réalisation est simple mais ceci cache, en réalité, une explication mathématique (ou électronique !) plus complexe à appréhender.

Au cours de ce rapport, nous allons tenter d’établir une synthèse des principales caractéristiques concernant la PLL.

Table de matière :

1)     Composant d’une PLL   …………………………………………………………    4

1.1) Comparateur de phase    ………………………………………………    4

1.2) Filtre passe bas    ……………………………………………………….    6

1.3) Oscillateur contrôlé en tension (VCO)   …………………………….    7

2) Etude de la PLL   …………………………………………………………………..    8

     2.1) Boucle ouverte    …………………………………………………………….    9

     2.2) Boucle fermée    ………………………………………………………………  10

3) Exemple concret d’une utilisation d’une PLL   ……………………………..     11

1) Composant d’une PLL

Vu de l’extérieur, une PLL comporte simplement une entrée et une sortie. Difficile de faire plus simple !

Son schémas bloc est lui aussi assez simple : il se compose au premier lieu d’un comparateur de phase (CP), suivi d’un filtre de type passe-bas (F-PB) et, enfin, finie par un Voltage Controleur Oscilator (VCO) ou Oscillateur Contrôler en Tension (OTC en bon Français). Les liaisons internes vous ont présentées ci-dessous :

L’autre bloc a seulement un rôle purement « symbolique ». En effet, il sert simplement à homogénéiser l’ensemble du système. En effet, à l’entrée du comparateur de phase, on a un signal caractérisé sa phase, à sa sortie un tension, le filtre en récupère seulement la partie continue, et le VCO fournie un fréquence. Pour avoir en entrée du comparateur de phase les mêmes signaux, on rajoute entre le VCO et le CP un facteur 2π pour obtenir la pulsation. Or la primitive de la pulsation donne une phase, ce qui se traduit dans le « monde des fréquence » par une division par p.

1.1) Comparateur de phase.

Ce circuit compare la phase de deux signaux j_{e et}, ce système doit fournir une tension d’erreur dont la valeur moyenne est proportionnelle au déphasage DF (ou « erreur de phase ») entre v_e  et  v_s :

          Ve (t) = Ve  sin (w_e t + j_e)                Vs (t) = Vs  sin (w_s t + j_s)

          DF = (w_e t + j_e) - (w_s t + j_s) = (w_e - w_s)  t + (j_e - j_s)

Il existe plusieurs façons de le réaliser :

-          Par la méthode analogique qui consiste à utiliser un multiplieur. Le principe est de multiplier deux signaux dans ce cas nous avons en sortie du multiplieur cette expression

Vmultiplieur= (K*Ve*Vs/2)*[ cos (j_e + j_s) – cos (j_e - j_s) ]

Ensuite si le système est asservi en fréquence, à l’aide d’un filtre passe bas positionner juste après le multiplieur on récupère en sorite du système la composante continue

C=(K*Ve*Vs/2)*cos(j_e - j_s)

Les inconvénients de ce système sont qu’il a une caractéristique non linéaire, elle est seulement par morceau et le gain de conversion dépend de l’amplitude des signaux d’entrées du comparateur de phase.

Les avantages sont que le système est simple à mettre en œuvre puis qu’il est performant en présence de bruit.

-          Par la méthode numérique

Il y a plusieurs comparateur de phase numérique comme le « Ou exclusif ». Le but est de faire passer dans une porte logique « Ou exclusif » deux signaux logiques déphasés ou pas puis d’en sortir la valeur moyenne grâce au filtre passe bas.

Dans  ce cas nous avons une caractéristique bien linéaires avec un gain de conversion Kcp =(+/-) Vdd / π

Mais l’inconvénient de ce système est qu’il fonctionne que avec des signaux logiques avec un rapport cyclique ½.

            1.2) Filtre passe bas.

Le rôle de ce filtre est d’extraire la valeur moyenne de la tension de sortie du comparateur de phase, en rejetant les harmoniques. Pour ne garder que la composante continue.

Quand la boucle est verrouillée, les fréquences Fs et Fe  sont égales, donc l’erreur de phase DF et la tension u sont constantes.

Dans la boucle a verrouillage de phase on utilise plusieurs type de filtre passe bas.

Le plus simple est le filtre passif du 1^er ordre comprenant une résistance et un condensateur. La fonction de transfert de ce filtre est  T(p)  = 1/(1+ to*p)

Les paramètres du filtre (fréquence de coupure, pente, amplification pour les filtres actifs) sont déterminants pour les caractères de l’asservissement : stabilité, précision, temps de réponse, plages de capture et de verrouillage.

 1.3) Oscillateur contrôlé en tension (VCO).

Un oscillateur est un dipôle actif (sans compter les bornes d’alimentations) qui produit un signal périodique. Un VCO est un quadripôle, il possède une entrée pour une tension de commande Vcde qui permet de faire varier, linéairement de préférence, la fréquence Fout  de l’oscillateur.

Fo est la fréquence à laquelle Vcde est égale a 0V, valeur tout à fait possible puisque l’on a vu que le rôle du filtre passe bas sert à délivrer une tension la plus continue possible à l’entrée du VCO.

2) Etude de la PLL

Maintenant qu’on a vu en détail les composant de la PLL, approchons de ses limites.

Bien qu’une PLL a de grands avantages, elle n’est pas parfaite. Tout d’abord, nous avons dis que le VCO fournit un fréquence en fonction de sa tension d’entrée. Mais oui, seulement dans une plage de tension donnée, et, par conséquence, la fréquence de sortie n’est pas infinie ! La PLL souffre des lors que cette règle n’est pas respectée. La PLL possède donc une plage de fonctionnement. Par contre, celle est plus complexe, du fait quelle possèdent non pas une mais deux plages de fonctionnement (en réalité l’un est comprise dans l’autre). Utilisons les termes anglo-saxons (il existe aussi des terme dans la langue de Molière mais ceux-ci diffèrent selon les personnes qui les emplois !!!), la petite plage est appelée « lock in range » (plage de capture). Si la fréquence y est comprise, alors la PLL est assurée d’être accrochée. L’autre plage se nomme « hold range » (plage de maintient), si la fréquence d’entrée de la PLL y est comprise, tout dépend de la valeur précédente de cette fréquence.

Le schéma ci-contre vous explique l’en image :           

Lorsque la fréquence augmente, elle suit le

tracé bleu.

Lorsque le fréquence diminue, elle suit le

tracé rouge.

On remarque donc que la PLL est accrochée à gauche de la plage de capture seulement si le fréquence augmente. Idem pour la partie

droite (ici, si la fréquence diminue).

La gamme de fréquence est limitée par la plage de fonctionnement du Vco. Bien entendu, il existe toutes sortes de Vco, vous n’aurez aucun problème à trouver un Vco qui convienne à vos caractéristiques.

Je vous rappelle pour information le schéma de câblage d’une PLL :  4*19=

2.1) Boucle ouverte

     Etudions maintenant ce système en boucle ouverte. Chacun des trois blocs présents sur le schéma précédent est caractérisés soit par une constante (comme le VCO ou le CP) soit par une fonction de transfert (cas du filtre). Nommons dès maintenant la constante associée au VCO par Ko exprimé en Hz/V et celui du comparateur de Phase par Kcp exprimé en V/(rad). Quant au filtre, sa fonction de transfert est de type passe-bas. Pour mémoire, on a rajouté le bloc 2π/p pour harmoniser les deux entrées du CP.

La Fonction De Transfert en Boucle Ouverte, c’est-à-dire lorsque l’on enlève le retour unitaire est :

            F(tbo) = 2π.Ko.Kcp / p

La boucle ouverte permet d’étudier la stabilité de la PLL, à l’aide, notamment, de son diagramme de Bode ou du schéma de Nyquist.

Pour l’expliquer, prenons un exemple. Disons que le filtre est conçut avec un circuit RC, c’est donc un simple filtre Passe-bas du 1^er ordre.

Sa fonction de transfert est

   F(jω) = 1 / ( 1 + RCp ) = 1 / ( 1 + τp )

La F(tbo) vaut alors    F(tbo) =  2π.Ko.Kcp / ((1+ RCp).p)

                                               = ωi / ( p . ( 1 + τp))           avec ωi = 2π.Kcp.Ko

                                                                                          et 1/τ : fréquence de coupure du filtre

Si l’on trace son diagramme de bode, on doit avoir absolument une phase constamment supérieure à -π. Sinon, il y a instabilité et la PLL ne fonctionnera pas correctement. Néanmoins, même si la phase n’est jamais inférieure au point critique de –π, il est tout de même important, comme tous systèmes électroniques, de s’assurer une marge de phase (MΦ) de telle sorte que le système même soumit à des perturbations ne décroche pas.

Le module et l’argument de cette fonction de transfère nous est donnée grâce aux modules de fonction élémentaire simple (ici le filtre passe bas).

De plus, il me semble important de rappeler que le module d’un intégrateur (forme 1/p) est une droite de pente négative (-20 dB/dec) passant à 0dB en ωi. Sa phase est toujours égale à 1.

On remarque que lorsque fréquence est très grande, la valeur de la phase tend « dangereusement » vers la valeur interdite –π. Il nous faut dès lors introduire une marge de phase, disons 45° (valeur arbitraire, cela aurait très bien pu être 30° ou 60°).

Pour cela, il faut que le diagramme de bode réponde aux deux critères suivants :

            MΦ = 180 + arg (Ftbo(ωodb))          avec MΦ = 45°

            | Ftbo(ωodb) | = 1

Ceci étant fait, on est maintenant assuré que la PLL sera accrochée dans sa plage de fonctionnement.

2.2) Boucle fermée

Etudions maintenant la précision d’une PLL.

Pour cela, nous allons tout d’abord calculer la fonction de transfert de la PLL en boucle fermée.

            Ftbf = Ftbo / ( 1 + Ftbo ).

Avec                                                     et

On obtient donc un système de second ordre.

Nous savons tous le comportement de la réponse indicielle d’un système du second ordre, il varie selon l’indice d’amortissement (m).

En effet, si celui-ci est inférieur à un, la réponse indicielle ressemblera fortement à un système du premier ordre.

Par contre, si la valeur de cette indice est supérieur à 1, on verra apparaître un dépassement plus ou moins prononcé – variant selon la valeur de l’indice - sur le graphe représentant le fréquence de sortie en fonction du temps.

Voici représenter la réponse indicielle d’un PLL selon son indice de modulation

Souvenez-vous, un PLL possède une plage de fonctionnement de différentes valeurs. Si la valeur maximale de ce dépassement est en dehors de cette plage, la PLL risque de décrochée !

C’est pourquoi, il est impératif de limiter ce dépassement en faisant le choix de prendre une valeur de l’indice de modulation (m) pas trop important.

3) Exemple concret d’une utilisation d’une PLL

Voyons maintenant un exemple d’application.

Etudions ensemble le cas d’une démodulation de fréquence d’un signal audio par exemple à l’aide d’une PLL.

Voila enfin un cas concret d’une utilisation d’une PLL.

Essayons de démoduler en FSK (Frequency Shift Keying)

Il s’agit une modulation qui à chaque niveau logique, associe une fréquence.

   Le signal transmit est un signal carré. La transformé d’un signal carré en Laplace est un sinus cardinal. On l’a modulé  en FSK (on a donc 2 fréquences). Les deux sinus cardinaux sont donc décalés en fréquence. La Densité Spectral de Puissance est donc :

Lors de la démodulation, considérons tout d’abord le signal d’entrée modulée en FSK de la forme  

Ceci équivaut à dire que   

Le schéma de la PLL est représentée de telle façon qu’on travaille on pas en fréquence mais en phase :

Si les coefficients (ωo et m) sont bien choisies selon les formule précisé plus haut, alors la fréquence de sortie de la PLL f’r sera toujours égal à la fréquence d’entrée f’e.

Le comparateur de phase compare la différence de phase entre f’e et f’r. Puis fournit une tension proportionnelle à cette différence. Le filtre passe bas à une fréquence de coupure très basse restitue le continue. Enfin le VCO fournie une tension proportionnelle égale à (très !) peu de chose près à la fréquence d’entrée. C'est-à-dire que la tension à l’entrée du VCO est fonction de la fréquence. Il suffit donc qu’à la récupérer pour retrouver la valeur binaire de l’information.

Il apparaît une étape de transition qui dépend de l’indice de modulation vu plus haut.

En espérant que ce rapport vous a apporté les réponses aux questions que vous vous poser, je reste néanmoins à votre disposition. Vous pourrez toujours me joindre à l’adresse mail suivante : ammaritmfr@yahoo.fr .